Jiří Bečvář se sice narodil v Ústí nad Labem, ale rodina se už v jeho dvou letech přestěhovala do Chomutova, takže s hokejem začal ještě na starém zimním stadionu. Prošel všemi mládežnickými týmy a v sezóně 2007/2008 pomohl juniorům do nejvyšší soutěže, kterou si v následujícím ročníku rovněž zahrál.

To už měl na kontě také první starty mezi dospělými, premiérový start zapsal 2. února 2008 v dresu Klášterce nad Ohří v domácím utkání s Benešovem. Právě nedalecí Tygři byli jeho nejčastějším působištěm až do roku 2015, kdy opustil ligové soutěže a zamířil do služeb Chebu v krajské lize.

Za Stadion nastupoval čtyři roky, až v létě 2019 se rozhodl, že kvůli hokeji pro zábavu už tak daleko dojíždět nebude. Po roční odmlce se však hlásil mateřskému klubu pro boje v krajské lize. Odehrál oba přípravné zápasy, ostrý debut v áčku Pirátů připadl na 19. září 2020 v Kadani, kde ještě nebodoval, ale o zápas později doma s Lovosicemi zaznamenal asistenci. Pak však sezónu stopla pandemie onemocnění COVID-19 a Jiří Bečvář už v mužstvu na jara 2021 nepokračoval.

Sezóna  Klub                                  Z  G  A  B  TM
2003-04 KLH Chomutov – dor. (LD)              2  0  3  3   –
        KLH Chomutov (9.třída)                – 17 14 31  40
2004-05 KLH Chomutov – dor. (KP)             30 23 25 48  60
2005-06 KLH Chomutov – jun. (LJ)              7  0  1  1  10
        KLH Chomutov – dor. (LD)             29 15 12 27  96
2006-07 KLH Chomutov – jun. (LJ)              –  –  –  –   –
2007-08 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)       3  0  0  0   4
        KLH Chomutov – jun. (LJ)              –  –  –  –   –
2008-09 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)       8  1  1  2  10
        HC Klášterec nad Ohří (2. liga, p-o)  6  1  0  1   2
        KLH Chomutov – jun. (E)              36 18 10 28  81
2009-10 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)      31  8  9 17  26
        HC Klášterec nad Ohří (2. liga, p-o)  5  0  1  1  14
        KLH Chomutov – jun. (E)               3  2  1  3  14
2010-11 SK Kadaň (1. liga)                    6  0  1  1   0
        HC Klášterec nad Ohří (2. liga)      24  4 10 14  86
        HC Klášterec nad Ohří (2. liga, p-o)  1  0  0  0   0
2011-12 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)      27  9  8 17 101
        HC Klášterec nad Ohří (2. liga, p-o)  9  3  2  5  20
        HC Klášterec nad Ohří (baráž)         4  0  0  0   8
2012-13 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)       3  1  2  3   4
2013-14 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)      19  3  6  9  40
        HC Klášterec nad Ohří (2. liga, p-o)  8  1  3  4  10
2014-15 HC Klášterec nad Ohří (2. liga)      16  7  2  9  20
2015-16 HC Stadion Cheb (KLM)                13 18 12 30  67
        HC Stadion Cheb (kvalifikace)         6  3  2  5   8
2016-17 HC Stadion Cheb (KLM)                10 23 14 37  40
        HC Stadion Cheb (kvalifikace)         2  0  1  1   2
2017-18 HC Stadion Cheb (KLM)                 7 15  5 20  12
2018-19 HC Stadion Cheb (KLM)                13 19  7 26  20
2019-20 –
2020-21  Piráti Chomutov (KLM)                2  0  1  1   0
Celkem za Chomutov                            2  0  1  1   0